Groupes Quantiques d'Interpolation de Langlands de Rang 1

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Interpolating Langlands Quantum Groups of Rank 1 -- We study a certain family, parameterized by an positive integer g, of double deformations of the envelopping algebra U(sl2), in the spirit of arXiv:0809.4453. We prove that each of these double deformations simultaneously deforms two rank 1 quantum groups. We show this interpolating property explains the Langlands duality for the representations of the quantum groups in rank 1. Hence we prove a conjecture of arXiv:0809.4453 in this case: we prove for all g the existence of representations which simultaneously deform two Langlands dual representations. We also study more generaly the finite rank representation theory of this family of double deformations. ----- On étudie une certaine famille, paramétrée par un entier g strictement positif, de doubles déformations de l'algébre enveloppante U(sl2), dans l'esprit de arXiv:0809.4453. On prouve que chacune de ces doubles déformations déforme simultanément deux groupes quantiques de rang 1. On montre que cette propriété d'interpolation explique la dualité de Langlands pour les représentations des groupes quantiques en rang 1. On résout ainsi une conjecture de arXiv:0809.4453 dans ce cas: on prouve pour tout g l'existence de représentations qui déforment simultanément deux représentations Langlands duales. On étudie aussi plus généralement la théorie des représentations de rang fini de de cette famille de doubles déformations.